首页 > 如图，在平面直角坐标系中．锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点．（1）如果tanα=34，B点的横坐标为513求cos（α+β）的值；（2）若角α+β的终边与单位圆交于C点，设角α，β，α+β的

如图，在平面直角坐标系中．锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点．（1）如果tanα=34，B点的横坐标为513求cos（α+β）的值；（2）若角α+β的终边与单位圆交于C点，设角α，β，α+β的

题目简介

如图，在平面直角坐标系中．锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点．（1）如果tanα=34，B点的横坐标为513求cos（α+β）的值；（2）若角α+β的终边与单位圆交于C点，设角α，β，α+β的

题目详情

如图，在平面直角坐标系中．锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果tan α=
3
4
，B点的横坐标为
5
13
求cos（α+β）的值；
（2）若角α+β的终边与单位圆交于C点，设角α，β，α+β的正弦线分别为MA，NB，PC，求证：线段MA，NB，PC能构成一个三角形；
（3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说
明理由．360优课网
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵tanα=class="stub"3
4
且α为锐角
∴sinα=class="stub"3
5
，cosα=class="stub"4
5

∵B点的横坐标为class="stub"5
13

由三角函数的定义可知，cosβ=class="stub"5
13
，sinβ=class="stub"12
13

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=class="stub"4
5
×class="stub"5
13
-class="stub"3
5
×class="stub"12
13
=class="stub"-16
65

证明：（2）由（1）可得MA=sinα=class="stub"3
5
，NB=sinβ=class="stub"12
13
，PC=sin（α+β）=class="stub"63
65

∵MA+NB＞PC，PC+NB＞MA，MA+PC＞NB
∴线段MA，NB，PC能构成一个三角形
（3）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下：
设（2）中的三角形为△A′B′C′中，角A′，B′C′所对的边长为sinα，sinβ，sin（α+β）
由余弦定理可得，cosA′=
sin2α+sin2β-sin2(α+β)
2sinsinβ

=
sin2α+sin2β-(sinαcosβ)2+(cosαcosβ)2
2sinααsinβ
-cosαcosβ
=
2sin2αsin2β-2sinαsinβcosαcosβ
2sinαsinβ

=sinαsinβ-cosαcosβ=-cos（α+β）
∵α，β∈(0，class="stub"1
2
π)
∴α+β∈（0，π）
∴sinA‘=sin（α+β）
设外接圆的半径为r，则由正弦定理可得2R=
B’C‘
sinA’
=
sin(α+β)
sin(α+β)
=1
∴R=class="stub"1
2

∴外接圆的面积S=class="stub"π
4

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