己知各项均为正数的数列{an}满足an+12+an+1an-2an2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若bn=anlog12an，Sn=b1

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己知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²+a_n+1a_n-2a_n²=0（n∈N^*），且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=a_nlog

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵an+12-an+1an-2an2=0，∴（an+1+an）（an+1-2an）=0，
∵数列{an}的各项均为正数，
∴an+1+an＞0，
∴an+1-2an=0，
即an+1=2an，所以数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4=2a3+4，
∴2a1+8a1=8a1+4，
∴a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=anlogclass="stub"1

an得，bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2++bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--（n-1）•2n-n•2n+1②
①-②得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2，
要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．

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己知各项均为正数的数列{an}满足an+12+an+1an-2an2=0（n∈N*），且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若bn=anlog12an，Sn=b1

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