记等差数列{an}的前n项和为Sn．（1）求证：数列{Snn}是等差数列；（2）若a1=1，且对任意正整数n，k（n＞k），都有Sn+k+Sn-k=2Sn成立，求数列{an}的通项公式；（3）记bn=

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记等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求证：数列{

}是等差数列；
（2）若a₁=1，且对任意正整数n，k（n＞k），都有

Sn+k

Sn-k

成立，求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=aan（a＞0），求证：

b1+b2+…+bn

≤

b1+bn

．

题型：解答题难度：中档来源：盐城三模

答案

设等差数列{an}的公差为d，（1）由于Sn=na1+

n(n-1)

d，从而

=a1+class="stub"n-1

d，
所以当n≥2时，

Sn-1

n-1

=(a1+class="stub"n-1

d)-(a1+class="stub"n-2

d)=class="stub"d

，
即数列{

}是等差数列．
（2）∵对任意正整数n，k（n＞k），都有

Sn+k

Sn-k

成立，
∴

Sn+1

Sn-1

，即数列{

}是等差数列，设其公差为t，
则

+(n-1)t=1+(n-1)t，所以Sn=[1+(n-1)t]2，
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=[1+（n-1）t]2-[1+（n-2）t]2=2t2n-3t2+2t，
又由等差数列{an}中，a2-a1=a3-a2，即（4t2-3t2+2t）-1=（6t2-3t2+2t）-（4t2-3t2+2t）
所以t=1，即an=2n-1．
（3）由于an=a1+（n-1）d，bn=aan，则

bn+1

=aan+1-an=ad，
即数列{bn}是公比大于0，首项大于0的等比数列，记其公比是q（q＞0）．
以下证明：b1+bn≥bp+bk，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．
∵（b1+bn）-（bp+bk）=b1+b1qn-1-b1qp-1-b1qk-1=b1(qp-1-1)(qk-1-1)，
当q＞1时，因为y=qx为增函数，p-1≥0，k-1≥0，
∴qp-1-1≥0，qk-1-1≥0，∴b1+bn≥bp+bk；
当q=1时，b1+bn=bp+bk；
当q=1时，因为y=qx为减函数，p-1≥0，k-1≥0，
∴qp-1-1≤0，qk-1-1≤0，∴b1+bn≥bp+bk，
综上：b1+bn≥bp+bk，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．
∴n（b1+bn）=（b1+bn）+（b1+bn）+…（b1+bn）≥（b1+bn）+（b2+bn-1）+…（bn+b1）
=（b1+b2+…+bn）+（bn+bn-1+…+b1），
即

b1+b2+…+bn

≤

b1+bn

．

上一篇 : 两等差数列{an}、{bn}的前n项
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记等差数列{an}的前n项和为Sn．（1）求证：数列{Snn}是等差数列；（2）若a1=1，且对任意正整数n，k（n＞k），都有Sn+k+Sn-k=2Sn成立，求数列{an}的通项公式；（3）记bn=

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