在△ABC中,A,C为锐角,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos2A=35,sinC=1010.(1)求cos(A+C)的值;(2)若a-c=2-1,求a,b,c的值;(3)已知tan(α

题目简介

在△ABC中,A,C为锐角,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos2A=35,sinC=1010.(1)求cos(A+C)的值;(2)若a-c=2-1,求a,b,c的值;(3)已知tan(α

题目详情

在△ABC中,A,C为锐角,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos2A=
3
5
,sinC=
10
10

(1)求cos(A+C)的值;
(2)若a-c=
2
-1
,求a,b,c的值;
(3)已知tan(α+A+C)=2,求
1
2sinαcosα+cos2α
的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵cos2A=2cos2A-1=class="stub"3
5
,且A为锐角
∴cosA=
2
5
5
,sinA=
1-cos2A
=
5
5

∵sinC=
10
10
,且C为锐角
∴cosC=
1-sin2C
=
3
10
10

因此,cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC=
2
5
5
3
10
10
-
5
5
10
10
=
2
2

(2)∵cos(A+C)=
2
2
,0<A+C<π,∴A+C=class="stub"π
4
,得B=π-class="stub"π
4
=class="stub"3π
4
,sinB=
2
2

∵sinA=
5
5
,sinB=
2
2
,sinC=
10
10

∴sinA:sinB:sinC=2
5
:5
2
10

由正弦定理,得a:b:c=2
5
:5
2
10
,设a=2
5
x,得b=5
2
x,c=
10
x
a-c=
2
-1
,得2
5
x-
10
x=
2
-1

∴x=
10
10
,可得a=
2
,b=
5
,c=1
(3)由(2)知A+C=class="stub"π
4
,得tan(α+class="stub"π
4
)=2
tanα+tanclass="stub"π
4
1-tanαtanclass="stub"π
4
=2,解之得tanα=class="stub"1
3

所以class="stub"1
2sinαcosα+cos2α
=
cos2α+sin2α
2sinαcosα+cos2α
=
1+tan2α
2tanα+1
=class="stub"2
3

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