已知向量m=(3sinx4,1),n=(cosx4,cos2x4),记f(x)=m•n,(1)求f(x)的值域和单调递增区间;(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a-c)

题目简介

已知向量m=(3sinx4,1),n=(cosx4,cos2x4),记f(x)=m•n,(1)求f(x)的值域和单调递增区间;(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a-c)

题目详情

已知向量
m
=(
3
sin
x
4
,1),
n
=(cos
x
4
,cos2
x
4
)
,记f(x)=
m
n

(1)求f(x)的值域和单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,若f(A)=
1+
3
2
,试判断△ABC的形状.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

因为向量
m
=(
3
sinclass="stub"x
4
,1),
n
=(cosclass="stub"x
4
,cos2class="stub"x
4
)

所以f(x)=
m
n
=
3
sinclass="stub"x
4
cosclass="stub"x
4
+cos2class="stub"x
4
=
3
2
sinclass="stub"x
2
+class="stub"1
2
cosclass="stub"x
2
+class="stub"1
2

(1)f(x)=sin(class="stub"x
2
+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
,值域[-class="stub"1
2
,class="stub"3
2
]

令2kπ-class="stub"π
2
class="stub"x
2
+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
得4kπ-class="stub"4π
3
≤x≤4kπ+class="stub"2π
3
,k∈Z,
单调增区间是[4kπ-class="stub"4π
3
,4kπ+class="stub"2π
3
],k∈Z

(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA
∵sinA>0,∴cosB=class="stub"1
2

∵B∈(0,π),∴B=class="stub"π
3

f(A)=
1+
3
2

∴sin(class="stub"A
2
+class="stub"π
6
)=
3
2

class="stub"A
2
+class="stub"π
6
=class="stub"π
3
class="stub"A
2
+class="stub"π
6
=class="stub"2π
3

∴A=class="stub"π
3
或A=π(舍去)
∴C=class="stub"π
3

A=class="stub"π
3
,B=class="stub"π
3
,C=class="stub"π
3
,所以三角形为等边三角形.

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