在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足sinAcosC=ac.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求3sinA-cos(B+π4)的最大值,并求取得最大值时角A的大小.-数学

题目简介

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足sinAcosC=ac.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求3sinA-cos(B+π4)的最大值,并求取得最大值时角A的大小.-数学

题目详情

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足
sinA
cosC
=
a
c

(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求
3
sinA-cos(B+
π
4
)
的最大值,并求取得最大值时角A的大小.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由正弦定理得class="stub"sinA
cosC
=class="stub"sinA
sinC

因为0<A<π,0<C<π.
所以sinA>0.从而sinC=cosC.
又cosC≠0,所以tanC=1,则C=class="stub"π
4
.…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知B=class="stub"3π
4
-A.
于是
3
sina-cos(B+class="stub"π
4
)
=
3
sina-cos(π-A)
=
3
sinA+cosA
=2sin(A+class="stub"π
6
)

因为0<A<class="stub"3π
4
,所以class="stub"π
6
<A+class="stub"π
6
<class="stub"11π
12

所以当A+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
,即A=class="stub"π
3
时,2sin(A+class="stub"π
6
)
取最大值2.
综上所述,
3
sinA-cos(B+class="stub"π
4
)
的最大值为2,此时A=class="stub"π
3
.…(9分)

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