首页 > 已知θ为向量a与b的夹角，|a|=2，|b|=1，关于x的一元二次方程x2-|a|x+a•b=0有实根．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f(θ)=sinθcosθ+3cos2θ-3

已知θ为向量a与b的夹角，|a|=2，|b|=1，关于x的一元二次方程x2-|a|x+a•b=0有实根．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f(θ)=sinθcosθ+3cos2θ-3

题目简介

已知θ为向量a与b的夹角，|a|=2，|b|=1，关于x的一元二次方程x2-|a|x+a•b=0有实根．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f(θ)=sinθcosθ+3cos2θ-3

题目详情

已知θ为向量
a
与
b
的夹角，|
a
|=2，|
b
|=1，关于x的一元二次方程x2-|
a
|x+
a
•
b
=0有实根．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f(θ)=sinθcosθ+
3
cos2θ-
3
2
的最值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）由题意可得θ∈[0，π]，由|
a
|=2，|
b
|=1，可得|
a
|2=4，
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ．…（3分）
∵方程x2-|a|x+a•b=0有实根，则有△=|
a
|2-4
a
•
b
=4（1-2cosθ）≥0，得cosθ≤class="stub"1
2
，所以θ∈[class="stub"π
3
，π]．…（6分）
（II）∵f(θ)=sinθcosθ+
3
cos2θ-
3
2

=class="stub"1
2
sin2θ+
3
(class="stub"cos2θ+1
2
)-
3
2

=class="stub"1
2
sin2θ+
3
2
cos2ϑ=sin(2θ+class="stub"π
3
)…（9分）
又因为θ∈[class="stub"π
3
，π]，所以2θ+class="stub"π
3
∈[π，class="stub"7π
3
]，
所以sin（(2θ+class="stub"π
3
)∈[-1，
3
2
]
所以，函数的最大值为
3
2
，最小值为-1．…（12分）

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