已知函数f(x)=4cos4x-2cos2x-1sin(π4+x)sin(π4-x)(Ⅰ)求f(-11π12)的值;(Ⅱ)当x∈[0,π4)时,求g(x)=12f(x)+sin2x的最大值和最小值.-

题目简介

已知函数f(x)=4cos4x-2cos2x-1sin(π4+x)sin(π4-x)(Ⅰ)求f(-11π12)的值;(Ⅱ)当x∈[0,π4)时,求g(x)=12f(x)+sin2x的最大值和最小值.-

题目详情

已知函数f(x)=
4cos4x-2cos2x-1
sin(
π
4
+x)sin(
π
4
-x)

(Ⅰ)求f(-
11π
12
)
的值;
(Ⅱ)当x∈[0,
π
4
)
时,求g(x)=
1
2
f(x)+sin2x
的最大值和最小值.
题型:解答题难度:中档来源:泰安一模

答案

(Ⅰ)∵cos2x=class="stub"1+cos2x
2
,cos22x=class="stub"1+cos4x
2
,sin(class="stub"π
4
-x
)=cos(class="stub"π
4
+x

f(x)=
(1+cos2x)2-2cos2x-1
sin(class="stub"π
4
+x)sin(class="stub"π
4
-x)
=
cos22x
sin(class="stub"π
4
+x)cos(class="stub"π
4
+x)

=
2cos22x
sin(class="stub"π
2
+2x)
=
2cos22x
cos2x
=2cos2x
…(4分)
因此,f(-class="stub"11π
12
)=2cos(-class="stub"11π
6
)=2cosclass="stub"π
6
=
3
…(6分)
(Ⅱ)∵f(x)=2cos2x,
g(x)=cos2x+sin2x=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)
…(8分)
∵x∈[0,class="stub"π
4
)
,可得2x+class="stub"π
4
∈[class="stub"π
4
,class="stub"3π
4
)
…(10分)
∴当x=class="stub"π
8
时,gmax(x)=
2
,当x=0时.gmin(x)=1
g(x)=class="stub"1
2
f(x)+sin2x
的最大值为
2
,最小值为1.…(12分)

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