已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的最大值和最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的最大值和最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;
(2)当x∈[0,
π
2
]时,求f(x)的最大值和最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

解 (Ⅰ)由题设得:f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x=1+sin2x+2cos2x
=sin2x+cos2x+2=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)+2

∴f(x)的最小正周期为π,
class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
4
≤class="stub"3π
2
+2kπ
(k∈Z)得,class="stub"π
8
+kπ
≤x≤class="stub"5π
8
+kπ
,k∈z
∴f(x)的单调递减区间为[class="stub"π
8
+kπ
class="stub"5π
8
+kπ
](k∈Z).
(Ⅱ)∵x∈[0,class="stub"π
2
],∴2x+class="stub"π
4
∈[class="stub"π
4
,class="stub"5π
4
]

sin(2x+class="stub"π
4
)∈[-
2
2
,1]

2
sin(2x+class="stub"π
4
)+2∈[1,2+
2
]

∴当x=class="stub"π
2
时,f(x)取到最小值为1,当x=class="stub"π
8
时,f(x)取到最大值为2+
2

更多内容推荐