已知0<ω<2,设f(x)=cos2ωx+3sinωxcosωx(1)若f(x)的周期为2π,求f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)图象的一条对称轴为x=π6,求ω的值.-数学

题目简介

已知0<ω<2,设f(x)=cos2ωx+3sinωxcosωx(1)若f(x)的周期为2π,求f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)图象的一条对称轴为x=π6,求ω的值.-数学

题目详情

已知0<ω<2,设f(x)=cos2ωx+
3
sinωxcosωx
(1)若f(x)的周期为2π,求f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)图象的一条对称轴为x=
π
6
,求
ω的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=cos2ωx+
3
sinωxcosωx
=class="stub"1
2
(1+cos2ωx)+
3
2
sin2ωx
=class="stub"1
2
cos2ωx+
3
2
sin2ωx+class="stub"1
2

=sin(2ωx+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2

由T=class="stub"2π
=2π,得ω=class="stub"1
2

∴f(x)=sin(x+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2

由2kπ-class="stub"π
2
≤x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
,得2kπ-class="stub"2π
3
≤x≤2kπ+class="stub"π
3

∴f(x)的单调递增区间为[2kπ-class="stub"2π
3
,2kπ+class="stub"π
3
],k∈Z
(2)∵x=class="stub"π
6
是函数图象的一条对称轴,
∴2ω×class="stub"π
6
+class="stub"π
6
=kπ+class="stub"π
2
,即ω=3k+1,k∈Z
又0<ω<2,
∴当k=0时,ω=1即为所求

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