首页 > 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.sinA2cosA2sinc2-sinB2cosB20-secB201.=2，（1）试判断△ABC的形状；（2）若△ABC的周长为16，求此三角

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.sinA2cosA2sinc2-sinB2cosB20-secB201.=2，（1）试判断△ABC的形状；（2）若△ABC的周长为16，求此三角

题目简介

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.sinA2cosA2sinc2-sinB2cosB20-secB201.=2，（1）试判断△ABC的形状；（2）若△ABC的周长为16，求此三角

题目详情

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
sin
A
2
cos
A
2
sin
c
2
-sin
B
2
cos
B
2
0
-sec
B
2
01
.
=
2
，
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的周长为16，求此三角形面积的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由
.
sinclass="stub"A
2
cosclass="stub"A
2
sinclass="stub"c
2
-sinclass="stub"B
2
cosclass="stub"B
2
0
-secclass="stub"B
2
01
.
=
2
可得：sinclass="stub"A
2
cosclass="stub"B
2
+cosclass="stub"A
2
sinclass="stub"B
2
+sinclass="stub"C
2
=
2
---------------2分分
即sin(class="stub"A+B
2
)+sinclass="stub"C
2
=
2
-------------------------------------------------------3分
∵A，B，C为△的内角，∴class="stub"A+B
2
=class="stub"π-C
2
即sin(class="stub"π-C
2
)+sinclass="stub"C
2
=
2
∴cosclass="stub"C
2
+sinclass="stub"C
2
=
2
，可得：
2
sin(class="stub"C
2
+class="stub"π
4
)=
2
---------------------5分
即sin(class="stub"C
2
+class="stub"π
4
)=1，∵class="stub"C
2
+class="stub"π
4
∈(class="stub"π
4
，class="stub"3π
4
)-------------------------------------6分
∴class="stub"C
2
+class="stub"π
4
=class="stub"π
2
即∠C=class="stub"π
2
，∴此三角形为直角三角形；--------------------8分
（2）由已知可知a+b+c=16且a2+b2=c2，可得：a+b+
a2+b2
=16-----9分
又∵a+b+
a2+b2
≥2
ab
+
2ab
（∵a，b∈R+）--------------------------10分
即
ab
≤class="stub"16
2+
2
=8(2-
2
)当且仅当a=b时等号成立-----------------------12分
此时ab≤64(2-
2
)2即面积有最大值为192-128
2
-------------------------14分

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