已知向量m=(2sinx,0),n=(sinx+cosx,sinx-cosx),且f(x)=m•n(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)若f(α)=1,sinβ=13,0<α<π2<β<π,求c

题目简介

已知向量m=(2sinx,0),n=(sinx+cosx,sinx-cosx),且f(x)=m•n(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)若f(α)=1,sinβ=13,0<α<π2<β<π,求c

题目详情

已知向量
m
=(2sinx,0),
n
=(sinx+cosx,sinx-cosx),且f(x)=
m
n

(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)若f(α)=1,sinβ=
1
3
,0<α<
π
2
<β<π,求cos(2α+β)的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+2sinxcosx
=1-cos2x+sin2x
=
2
sin(2x-class="stub"π
4
)+1,
∴f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2
=π,f(x)min=-
2
+1…6分
(2)由f(α)=1得,sin(2α-class="stub"π
4
)=0,即2α-class="stub"π
4
=kπ,则α=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
8
(k∈Z),
又α∈(0,class="stub"π
2
),则α=class="stub"π
8
…8分
由sinβ=class="stub"1
3
,0<α<class="stub"π
2
<β<π,得cosβ=-
2
2
3
…10分
∴cos(2α+β)=cos(class="stub"π
4
+β)=
2
2
cosβ-
2
2
sinβ=-class="stub"2
3
-
2
6
…12分

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