首页 > 已知f（x）=sinx+3cosx（x∈R）．求：（1）若x∈R，求f（x）的值域，并写出f（x）的单调递增区间；（2）若x∈(-π2，π3)，求f（x）的值域．-高二数学

已知f（x）=sinx+3cosx（x∈R）．求：（1）若x∈R，求f（x）的值域，并写出f（x）的单调递增区间；（2）若x∈(-π2，π3)，求f（x）的值域．-高二数学

题目简介

已知f（x）=sinx+3cosx（x∈R）．求：（1）若x∈R，求f（x）的值域，并写出f（x）的单调递增区间；（2）若x∈(-π2，π3)，求f（x）的值域．-高二数学

题目详情

已知f（x）=sinx+
3
cosx（x∈R）．求：
（1）若x∈R，求f（x）的值域，并写出f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈(-
π
2
，
π
3
)，求f（x）的值域．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意，f(x)=sinx+
3
cosx=2sin(x+class="stub"π
3
)，
∴f（x）的值域为[-2，2]，
令2kπ+class="stub"π
2
≤x+class="stub"π
3
≤2kπ-class="stub"π
2
，
解得2kπ-class="stub"5π
6
≤x≤2kπ+class="stub"π
6
，
故函数的单调递增区间为[2kπ-class="stub"5
6
π，2kπ+class="stub"1
6
π]，k∈Z；
（2）∵x∈(-class="stub"π
2
，class="stub"π
3
)，
∴x+class="stub"π
3
∈(-class="stub"π
6
，class="stub"2π
3
)，
令t=x+class="stub"π
3
，则y=sint在(-class="stub"π
6
，class="stub"π
2
)上递增，在(class="stub"π
2
，class="stub"2π
3
)上递减，
∴f(x)＞sin(-class="stub"π
6
)=-class="stub"1
2
，fmax(x)=sinclass="stub"π
2
=1，
∴-1＜f（x）≤2，
故f（x）的值域为（-1，2]．

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