设函数f(x)=2sin2(π4+x)-acos2x-1(x∈R,a为常数),已知x=5π12时f(x)取到最大值2.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)设y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=π6对称,求满

题目简介

设函数f(x)=2sin2(π4+x)-acos2x-1(x∈R,a为常数),已知x=5π12时f(x)取到最大值2.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)设y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=π6对称,求满

题目详情

设函数f(x)=2sin2(
π
4
+x)-acos2x-1(x∈R,a为常数)
,已知x=
12
时f(x)取到最大值2.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)设y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=
π
6
对称,求满足x∈(0,π)且f(x)-2g(x)=3的所有x的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵f(x)=2sin2(class="stub"π
4
+x)-
3
cos2x-1=1-cos(class="stub"π
2
+2x)-acos2x-1

=sin2x-acos2x=
1+a2
sin(2x-ϕ)
,其中,cosϕ=class="stub"1
1+a2
,sinϕ=class="stub"a
1+a2

f(x)最大值为f(class="stub"5π
12
)=2,所以
1+a2
=2,∴a=±
3
,ϕ=2kπ+class="stub"π
3

sinϕ=class="stub"a
1+a2
>0,∴a=
3

(Ⅱ)∵g(x)=f(class="stub"π
3
-x)=2sin[2(class="stub"π
3
-x)-class="stub"π
3
]=-2sin(2x-class="stub"π
3
)

f(x)-2g(x)=6sin(2x-class="stub"π
3
),∴sin(2x-class="stub"π
3
)=class="stub"1
2

2x-class="stub"π
3
=class="stub"π
6
+2kπ或class="stub"5π
6
+2kπ,即x=class="stub"π
4
+kπ或class="stub"7π
12
+kπ,k∈Z

x∈(0,π),∴x=class="stub"π
4
或class="stub"7π
12

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