是否存在常数k和等差数列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立,其中Sn为{an}的前n项和?若存在,试求出常数k和数列{an}的通项;若不存在,试说明理由。-高二数学

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是否存在常数k和等差数列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立,其中Sn为{an}的前n项和?若存在,试求出常数k和数列{an}的通项;若不存在,试说明理由。-高二数学

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是否存在常数k和等差数列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立,其中Sn为{an}的前n项和?若存在,试求出常数k和数列{an}的通项;若不存在,试说明理由。
题型:解答题难度:偏难来源:月考题

答案

解:设存在常数k和等差数列{an}满足条件,
令an=pn+q(p,q为常数),


∴S2n-Sn+1


由题设

上式对n∈N+恒成立,因而有

 由①知,p=0或
若p=0,由②得q=0,不合题意,
∴p≠0,将代入②,得
代入③,得
∴存在常数及等差数列{an}满足条件,{an}的通项公式为

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