给出下列四个命题:①如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题;②已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a•b=2,则a与b的夹角为π6;③若函数f(x+1)是奇函数,f

题目简介

给出下列四个命题:①如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题;②已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a•b=2,则a与b的夹角为π6;③若函数f(x+1)是奇函数,f

题目详情

给出下列四个命题:
①如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题;
②已知向量
a
b
满足|
a
|=1,|
b
|=4
,且
a
b
=2
,则
a
b
的夹角为
π
6

③若函数f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且f(0)=2,则f(2012)=2;
④已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数,函数g(x)=log4(a•2x-
4
3
a)
,若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有且只有一个公共点,则实数a的取值范围是(1,+∞).
其中正确命题的序号为______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题,则命题“p”为假命题,命题“q”是真命题,故①正确;
|
a
|=1,|
b
|=4
,且
a
b
=2
,则
a
b
的夹角θ满足,cosθ=
a
b
|
a
|•|
b
|
=class="stub"1
2
,则
a
b
的夹角为class="stub"π
3
,故②错误;
若函数f(x+1)是奇函数,f(x+1)=-f(-x+1),若f(x-1)是偶函数,则f(x-1)=f(-x-1)
故f(x+4)=f(x+3+1)=-f[-(x+3)+1]=-f(-x-2)=-f[-(x+1)-1]=-f(x+1-1)=-f(x)
则f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为8,由f(0)=2,则f(2012)=f(4)=-2,故③错误;
由f(x)为偶函数,故log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx对所有x∈R都成立,即(2k+1)x=0对所有x∈R都成立,故k=-class="stub"1
2

由方程log4(4x+1)-class="stub"1
2
x=log4(a•2x-class="stub"4
3
a)
(*)
可变形为
4x+1
2x
=a•2x-class="stub"4
3
a,①
a•2x-class="stub"4
3
a>0,②
,由②得
a>0
2x>class="stub"4
3
a<0
2x<class="stub"4
3

令2x=t,则
a>0
t>class="stub"4
3
,或
a<0
0<t<class="stub"4
3

由①得(a-1)(2x)2-class="stub"4
3
a•2x-1=0,设h(t)=(a-1)t2-class="stub"4
3
at-1
∴当a>0时,(a-1)h(class="stub"4
3
)<0⇒a>1,
当a<0时,h(0)=-1<0,h(class="stub"4
3
)>0⇒a不存在,
当△=(-class="stub"4
3
a)2+4(a-1)=0时,a=class="stub"3
4
或a=-3,
若a=class="stub"3
4
,则t=-2,不合题意,舍去,若a=-3,则t=class="stub"1
2
,满足题意,
∴当a=-3或a>1时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,故④错误
故答案为:①

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