已知函数f(x)=x2+(m-1)x+m,(m∈R)(1)若f(x)是偶函数,求m的值.(2)设g(x)=f(x)x,x∈[14,4],求g(x)的最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x2+(m-1)x+m,(m∈R)(1)若f(x)是偶函数,求m的值.(2)设g(x)=f(x)x,x∈[14,4],求g(x)的最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=x2+(m-1)x+m,(m∈R)
(1)若f(x)是偶函数,求m的值.
(2)设g(x)=
f(x)
x
,x∈[
1
4
,4],求g(x)的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由于二次函数函数f(x)=x2+(m-1)x+m 的对称轴为 x=class="stub"1-m
2
,且函数为偶函数,故它的对称轴为y轴,故有 class="stub"1-m
2
=0,m=1.
(2)由于函数g(x)=
f(x)
x
=x+(m-1)+class="stub"m
x

①当 class="stub"1
4
m
≤4时,即class="stub"1
16
≤m≤16时,由基本不等式可得g(x)的最小值为2
m
+m-1,当且仅当x=
m
时,取得最小值.
②当
m
>4,即 m>16时,由于函数g(x)在[class="stub"1
4
,4]上是减函数,故g(x)的最小值为g(4)=3+class="stub"5
4
m.
③当m<class="stub"1
16
时,函数g(x)在[class="stub"1
4
,4]上是增函数,故g(x)的最小值为g(class="stub"1
4
)=5m-class="stub"3
4

综上可得,gmin(x)=
5m-class="stub"3
4
 , m<class="stub"1
16
2
m
+m-1 ,class="stub"1
16
≤m≤16
3+class="stub"5
4
m ,m≥16

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