首页 > 已知函数f（x）=-13x3+2ax2-3a2x+1，0＜a＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），

已知函数f（x）=-13x3+2ax2-3a2x+1，0＜a＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），

题目简介

已知函数f（x）=-13x3+2ax2-3a2x+1，0＜a＜1．（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），

题目详情

已知函数f（x）=-
1
3
x3+2ax2-3a2x+1，0＜a＜1．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f′（x）≤a成立（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），试确定实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：密云县一模

答案

（Ⅰ）f′（x）=-x2+4ax-3a2，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-x2+4ax-3a2=-（x-2a）2+a2，
ⅰ）当2a≤1-a时，即0＜a≤class="stub"1
3
时，f′（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减．
∴[f′（x）]max=f′（1-a）=-8a2+6a-1，[f′（x）]min=f′（1+a）=2a-1．
∵-a≤f′（x）≤a，∴
-8a2+6a-1≤a
2a-1≥-a
∴
a∈R
a≥class="stub"1
3
∴a≥class="stub"1
3
．
此时，a=class="stub"1
3
．（9分）
ⅱ）当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即class="stub"1
3
＜a＜1，[f′（x）]max=f′（2a）=a2．

∵-a≤f′（x）≤a，∴
f′(1+a)≥-a
f′(1-a)≥-a
f′(2a)≤a
即
2a-1≥-a
-8a2+6a-1≥-a
a2≤a

∴
a≥class="stub"1
3
7-
17
16
≤a≤
7+
17
16
0≤a≤1.
∴class="stub"1
3
≤a≤
7+
17
16
．
此时，class="stub"1
3
＜a≤
7+
17
16
．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为[class="stub"1
3
，
7+
17
16
]．（14分）

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