首页 > 设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式πf(x)＞(1π)2-t

设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式πf(x)＞(1π)2-t

题目简介

设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式πf(x)＞(1π)2-t

题目详情

设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）满足条件：①f（-1+x）=f（-1-x）；②函数f（x）的图象与直线y=x只有一个公共点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式πf(x)＞(
1
π
)2-tx在t∈[-2，2]时恒成立，求实数x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵由①f（x）=ax2+bx（a≠0）的对称轴方程是x=-1，
∴b=2a；
∵函数f（x）的图象与直线y=只有一个公共点，
∴
y=ax2+bx
y=x
有且只有一解，
即ax2+（b-1）x=0有两个相同的实根；
故△=（b-1）2=0⇒b=1，a=class="stub"1
2
，
所以f（x）=class="stub"1
2
x2+x．
（2）∵π＞1∴πf(x)＞(class="stub"1
π
)2-tx⇔f（x）＞tx-2．
因为class="stub"1
2
x2+x＞tx-2在t∈[-2，2]时恒成立等价于
函数g（t）=xt-（class="stub"1
2
x2+x+2）＜0，t∈[-2，2]时恒成立；
∴
g(-2)＜0
g(2)＜0
⇒
x2-2x+4＞0
x2+6x+4＞0
⇒x＜-3-
5
，x＞-3+
5

故实数x的取值范围是（-∞，-3-
5
）∪（-3+
5
，+∞）．

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