首页 > 已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为22，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为22．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l经过的定

已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为22，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为22．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l经过的定

题目简介

已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为22，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为22．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l经过的定

题目详情

已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为
2
2
，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2
2
．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l经过的定点为Q，过点Q作斜率为k的直线l′与椭圆C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，线段PM长度的最大值为f（m），求f（m）的表达式．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）由离心率e=
2
2
，得b=c=
2
2
a
又因为2ab=2
2
，所以a=
2
，b=1，即椭圆标准方程为
x2
2
+y2=1．（4分）
（II）由l：mx-2y+2m=0经过定点Q（-2，0），则直线l′：y=k（x+2），
由 
y=k(x+2)
x2
2
+y2=1
有（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0．
所以△=64k4-8（2k2+1）（4k2-1）＞0，可化为 2k2-1＜0
解得-
2
2
＜k＜
2
2
． （8分）
（Ⅲ） 由l：mx-2y+2m=0，设x=0，则y=m，所以P（0，m）．
设M（x，y）满足
x2
2
+y2=1，
则|PM|2=x2+（y-m）2=2-2y2+（y-m ）2=-y2-2my+m2+2=-（y+m）2+2m2+2，
因为-1≤y≤1，所以
当|m|＞1时，|MP|的最大值f（m）=1+|m|；
当|m|≤1时，|MP|的最大值f（m）=
2m2+2
；
所以f（m）=
1+|m|m＞1
2m2+2
|m|≤1
．（12分）

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