已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx.(1)求证:f(x)≥g(x);(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的值;(3)设F(x)=f(x)+mg(x)(m∈R)有两个极值点x1、x2(

题目简介

已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx.(1)求证:f(x)≥g(x);(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的值;(3)设F(x)=f(x)+mg(x)(m∈R)有两个极值点x1、x2(

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已知函数f(x)=x2-x,g(x)=lnx.
(1)求证:f(x)≥g(x);
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的值;
(3)设F(x)=f(x)+mg(x)(m∈R)有两个极值点x1、x2(x1<x2);求实数m的取值范围,并证明:F(x2)>-
3+4ln2
16
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设G(x)=x2-x-lnx,
G′(x)=
(2x+1)(x-1)
x
(x>0)…2'
∴G(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增
∴G(x)≥G(1)=0
∴f(x)≥g(x)…2'
(2)令h(x)=f(x)-ag(x)
∵h(1)=0
所以h(x)≥0的必要条件是h'(0)=0,得a=1…3'
当a=1时,由(1)知h(x)≥0恒成立.
所以a=1…2'
(3)因为F(x)=f(x)+mg(x)=x2-x+mlnx,所以F′(x)=
2x2-x+m
x
   (x>0)

F(x)有两个极值点x1、x2等价于
方程2x2-x+m=0在(0,+∞)上有两个不等的正根
△>0
x1+x2>0
x1x2>0
得  0<m<class="stub"1
8
…2'
由F'(x)=0得m=-2x22+x2,(0<x1<class="stub"1
4
x2<class="stub"1
2

∴F(x2)=x22-x2+(x2-2x22)lnx2
ϕ(x)=x2-x+(x-2x2)lnx , (class="stub"1
4
<x<class="stub"1
2
)

得ϕ'(x)=(1-4x)lnx>0,∴ϕ(x)>ϕ(class="stub"1
4
)=-class="stub"3+4ln2
16

所以F(x2)>-class="stub"3+4ln2
16
…4'

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