已知f（x）=2x-ax2+2(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．（1）求实数a的值所组成的集合A；（2）设关于x的方程f（x）=1x的两个根为x1、x2，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式

题目简介

已知f（x）=

2x-a

x2+2

(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数．
（1）求实数a的值所组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=

的两个根为x₁、x₂，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）∵f′（x）=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
∴f′（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．
设φ（x）=x2-ax-2，则问题等价于

φ(1)=1-a-2≤0

φ(-1)=1+a-2≤0

⇔-1≤a≤1，
∴A=[-1，1]．
（2）由class="stub"2x-a

x2+2

=class="stub"1

，得x2-ax-2=0，△=a2+8＞0，
∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根，
∴x1+x2=a，x1x2=-2，从而|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

a2+8

，
∵-1≤a≤1，
∴|x1-x2|=

a2+8

≤3．
∴不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立
⇔m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立
⇔m2+tm-2≥0≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．
设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），则问题又等价于

g(-1)=m2-m-2≥0

g(1)=m2+m-2≥0

⇔m≤-2，
∴m≥2，即m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．