首页 > 已知函数f（x）=x3-3ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a，使得不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0，3]恒成立．-数学

已知函数f（x）=x3-3ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a，使得不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0，3]恒成立．-数学

题目简介

已知函数f（x）=x3-3ax+1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求所有的实数a，使得不等式-1≤f（x）≤1对x∈[0，3]恒成立．-数学

题目详情

已知函数f （x）=x3-3ax+1，a∈R．
（Ⅰ） 求f （x）的单调区间；
（Ⅱ） 求所有的实数a，使得不等式-1≤f （x）≤1对x∈[0，
3
]恒成立．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟

答案

（I）∵f （x）=x3-3ax+1，
∴f′（x）=3x2-3a，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f （x）的单调增区间为R；
当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜-
a
或x＞
a

故f （x）的单调增区间为（-∞，-
a
）和（
a
，+∞），f （x）的单调减区间为（-
a
，
a
）
（II）当a≤0时，由（I）可知f （x）在[0，
3
]递增，且f（0）=1，此时无解；
当0＜a＜3时，由（I）可知f （x）在∈[0，-
a
）上递减，在（
a
，
3
]递增，
∴f （x）在[0，
3
]的最小值为f（
a
）=1-2a
a

∴
f(
a
)≥1
f(
3
)≤1
f(0)≤1
，即
a
a
≤1
a≥1

解得：a=1
当a≥3时，由（I）可知f （x）在[0，
3
]上递减，且f（0）=1，
∴f(
3
)=3
3
-3
3
a+1≥-1
解得：a≤1+
2
3
9

此时无解
综上a=1

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