已知函数f(x)=ax3+bx+c为R上的奇函数,且当x=1时,有极小值-1;函g(x)=-12x3+32x+t-3t(t∈R,t≠0)(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于任意x∈[-2,2],

题目简介

已知函数f(x)=ax3+bx+c为R上的奇函数,且当x=1时,有极小值-1;函g(x)=-12x3+32x+t-3t(t∈R,t≠0)(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于任意x∈[-2,2],

题目详情

已知函数f(x)=ax3+bx+c为R上的奇函数,且当x=1时,有极小值-1;函g(x)=-
1
2
x3+
3
2
x+t-
3
t
(t∈R,t≠0)

(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于任意x∈[-2,2],恒有f(x)>g(x),求t的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:宁波模拟

答案

(1)由f(-x)=-f(x)得:c=0,
f′(1)=3a+b=0
f(1)=a+b=-1
a=class="stub"1
2
b=-class="stub"3
2

f(x)=class="stub"1
2
x3-class="stub"3
2
x

经检验在x=1时,f(x)有极小值-1,
f(x)=class="stub"1
2
x3-class="stub"3
2
x

(2)设h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x-t+class="stub"3
t
,则h'(x)=3x2-3,
令h'(x)=3x2-3>0得x>1或x<-1,
令h'(x)=3x2-3<0得-1<x<1
所以h(x)在区间[-2,-1]及[1,2]上的增函数,在区间[-1,1]上的减函数,
h(x)min=min{h(-2),h(1)}=h(1)=-2-t+class="stub"3
t

使对于任意x∈[-2,2],恒有f(x)>g(x),则h(1)=-2-t+class="stub"3
t
>0

解得t<-3或0<t<1∴t∈(-∞,-3)∪(0,1)

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