首页 > 已知函数f（x）=x22x+1（x＞0）（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）•f（x2）=1时，求证：x1•x2≥3+22（2）若数列{an}满足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求数

已知函数f（x）=x22x+1（x＞0）（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）•f（x2）=1时，求证：x1•x2≥3+22（2）若数列{an}满足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求数

题目简介

已知函数f（x）=x22x+1（x＞0）（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）•f（x2）=1时，求证：x1•x2≥3+22（2）若数列{an}满足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求数

题目详情

已知函数f（x）=
x2
2x+1
（x＞0）
（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）•f（x2）=1时，求证：x1•x2≥3+2
2

（2）若数列{an}满足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求数列{an}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：广州二模

答案

（1）证明：∵x1＞0，x2＞0，f（x1）•f（x2）=1，
∴
x12
2x1+1 
•
x22
2x2+1
=1，…（2分）
∴(x1x2)2=(2x1+1)(2x2+1)
=4x1x2+2（x1+x2）+1
≥4x1x2+4
x1x2
 +1
=（2
x1x2
+1）2．…（4分）
∴x1x2≥2
x1x2
+1，
∴(
x1x2
-1)2≥2，
∴
x1x2
-1≥ 
2
，或
x1x2
-1≤-
2
（舍去）．
∴
x1x2
≥
2
+1，
∴x1x2≥(
2
+1)2=3+2
2
．…（6分）
（2）解法一：∵a1=1，an＞0，an+1=f(an)=
an2
2an+1
，
∴class="stub"1
an+1
=
2an+1
an2
=class="stub"2
an
+class="stub"1
an2
=(1+class="stub"1
an
)2-1，
∴1+class="stub"1
an+1
=(1+class="stub"1
an
)2．…（8分）
∴lg(1+class="stub"1
an+1
)=lg(1+class="stub"1
an
)2=2lg(1+class="stub"1
an
)．…（10分）
∴数列{lg(1+class="stub"1
an
)}是首项为lg（1+class="stub"1
a1
）=lg2，公比为2的等比数列．
∴lg(1+class="stub"1
an
)=2n-1•lg2=lg22n-1．…（12分）
∴1+class="stub"1
an
=22n-1，
∴an=class="stub"1
22n-1-1
．…（14分）
解法二：∵a1=1，an＞0，an+1=f(an)=
an2
2an+1
，
∴
an+1
1+an+1
=
an2
2an+1
1+
an2
2an+1
=
an2
an2+2an+1
=(
an
1+an
)2，…（8分）
∴lg(
an+1
1+an+1
)=lg(
an
1+an
)2=2lg(
an
1+an
)．…（10分）
∴数列{lg(
a n
1+an
)}是首项为lg(
a1
1+a1
)=lgclass="stub"1
2
，公比为2的等比数列．
∴lg(
an
1+an
)=2n-1•lgclass="stub"1
2
=lg(class="stub"1
2
)2n-1，…（12分）
∴
an
1+an
=(class="stub"1
2
)2n-1，
∴an=class="stub"1
22n-1-1
．…（14分）

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