首页 > 已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f(12

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f(12

题目简介

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．（1）求f（0），f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）若f(12

题目详情

已知f （x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足f（a•b）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判断f （x）的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(
1
2
)=-
1
2
，令bn=
2n
f(2n)
，Sn表示数列{bn}的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g （n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）•g （n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令a=b=0，得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．
令a=b=1，得f（1）=1•f（1）+1•f（1），∴f（1）=0．（2分）
（2）令a=b=-1，得f（1）=f[（-1）•（-1）]=-f（-1）-f（-1）=-2f（-1），∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，得f（-x）=f（-1•x）=-1•f（x）+x•f（-1）=-f（x）+0=-f（x）．∴f（x）是奇函数．（5分）
（3）当ab≠0时，
f(a•b)
a•b
=
f(b)
b
+
f(a)
a
．
令g(x)=
f(x)
x
，则g(a•b)=g(a)+g(b)，∴g（an）=ng（a）．（7分）
∴f（an）=an•g（an）=n•an•g（a）=n•an-1•f（a）．
∵f(1)=f(2•class="stub"1
2
)=2f(class="stub"1
2
)+class="stub"1
2
f(2)=0，f(class="stub"1
2
)=-class="stub"1
2

∴f（2）=2，
∴bn=
2n
f(2n)
=class="stub"1
n
（9分）
∴Sn=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+…+class="stub"1
n
，
∴Sn-Sn-1=class="stub"1
n
(n≥2)
即nSn-（n-1）Sn-1=Sn-1+1，（11分）
∴（n-1）Sn-1-（n-2）Sn-2=Sn-2+1，…，2S2-S1=S1+1，
∴nSn-S1=S1+S2+…+Sn-1+n-1，
∴S1+S2+…Sn-1=nSn-n=（Sn-1）•n（n≥2）
∴g（n）=n．
故存在关于n的整式g （n）=n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立     （13分）

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