首页 > 设f(x)=x33，对任意实数t，记gt(x)=t23x-23t．（I）求函数y=f（x）-g8（x）的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立；（ⅱ）有且仅有

设f(x)=x33，对任意实数t，记gt(x)=t23x-23t．（I）求函数y=f（x）-g8（x）的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立；（ⅱ）有且仅有

题目简介

设f(x)=x33，对任意实数t，记gt(x)=t23x-23t．（I）求函数y=f（x）-g8（x）的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立；（ⅱ）有且仅有

题目详情

设f(x)=
x3
3
，对任意实数t，记gt(x)=t
2
3
x-
2
3
t．
（I）求函数y=f（x）-g8（x）的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得g8（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立．
题型：解答题难度：中档来源：浙江

答案

（I）y=
x3
3
-4x+class="stub"16
3
．由y'=x2-4=0，得x=±2．
因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，
当x∈（-2，2）时，y'＜0，
当x∈（2，+∞）时，y'＞0，
故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）．
（II）证明：（i）方法一：
令h(x)=f(x)-gt(x)=
x3
3
-tclass="stub"2
3
x+class="stub"2
3
t(x＞0)，则h′(x)=x2-tclass="stub"2
3
，
当t＞0时，由h'（x）=0，得x=tclass="stub"1
3
，
当x∈(xclass="stub"1
3
，+∞)时，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(tclass="stub"1
3
)=0．
故当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立．
方法二：
对任意固定的x＞0，令h(t)=gt(x)=tclass="stub"2
3
x-class="stub"2
3
t(t＞0)，则h′(t)=class="stub"2
3
t-class="stub"1
3
(x-tclass="stub"1
3
)，
由h'（t）=0，得t=x3．
当0＜t＜x3时，h'（t）＞0．
当t＞x3时，h'（t）＜0，
所以当t=x3时，h（t）取得最大值h(x3)=class="stub"1
3
x3．
因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．
（ii）方法一：f(2)=class="stub"8
3
=gt(2)．
由（i）得，gt（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．
即存在正实数x0=2，使得gx（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．
下面证明x0的唯一性：
当x0≠2，x0＞0，t=8时，f(x0)=
x03
3
，gx(x0)=4x0-class="stub"16
3
，
由（i）得，
x03
3
＞4x0-class="stub"16
3
，
再取t=x03，得gx03(x0)=
x03
3
，
所以gx(x0)=4x0-class="stub"16
3
＜
x03
3
=gx03(x0)，
即x0≠2时，不满足gx（x0）≥gt（x0）对任意t＞0都成立．
故有且仅有一个正实数x0=2，
使得gx（x0）0≥gt（x0）对任意正实数t成立．
方法二：对任意x0＞0，gx(x0)=4x0-class="stub"16
3
，
因为gt（x0）关于t的最大值是class="stub"1
3
x03，所以要使gx（x0）≥gt（x0）
对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0-class="stub"16
3
≥class="stub"1
3
x03，
即（x0-2）2（x0+4）≤0，①
又因为x0＞0，不等式①成立的充分必要条件是x0=2，
所以有且仅有一个正实数x0=2，
使得gx（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立．

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