设a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)写出函数f(x)的单调区间.-数学

题目简介

设a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)写出函数f(x)的单调区间.-数学

题目详情

设a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x∈R.
(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)写出函数f(x)的单调区间.
题型:解答题难度:中档来源:金山区一模

答案

(1)当a=0时,f(x)=x|x|,所以f(x)为奇函数…(1分)
因为定义域为R关于原点对称,且f(-x)=-x|-x|=-f(x),所以f(x)为奇函数.…(3分)
当a≠0时,f(x)=x|x-a|为非奇非偶函数,…(4分)
f(a)=0,f(-a)=-a|2a|,所以f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a)
所以f(x)是非奇非偶函数.…(6分)
(2)当a=0时,f(x)=
x2x≥0
-x2x<0
,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);…(8分)
当a>0时,f(x)=
x2-axx≥a
-x2+axx<a

f(x)的单调递增区间为(-∞,class="stub"a
2
)
和(a,+∞);…(10分)
f(x)的单调递减区间为(class="stub"a
2
,a)
;…(12分)
当a<0时,f(x)=
x2-axx≥a
-x2+axx<a

f(x)的单调递增区间为(-∞,a)和(class="stub"a
2
,+∞)
;…(14分)
f(x)的单调递减区间为(a,class="stub"a
2
)
…(16分)

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