关于函数f(x)=sin2x-(23)|x|+12,有下面四个结论,其中正确结论的个数为()①f(x)是奇函数②当x>2003时,f(x)>12恒成立③f(x)的最大值是32④f(x)的最小值是-12

题目简介

关于函数f(x)=sin2x-(23)|x|+12,有下面四个结论,其中正确结论的个数为()①f(x)是奇函数②当x>2003时,f(x)>12恒成立③f(x)的最大值是32④f(x)的最小值是-12

题目详情

关于函数f(x)=sin2x-(
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|x|+
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,有下面四个结论,其中正确结论的个数为(  )
①f(x)是奇函数②当x>2003时,f(x)>
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恒成立③f(x)的最大值是
3
2
④f(x)的最小值是-
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A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:中档来源:不详

答案

y=f(x)的定义域为x∈R,且f(-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数,因此结论①错.
对于结论②,取特殊值当x=1000π时,x>2003,sin21000π=0,且(class="stub"2
3
)1000π>0
∴f(1000π)=class="stub"1
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-(class="stub"2
3
)1000π<class="stub"1
2
,因此结论②错.
又f(x)=class="stub"1-cos2x
2
-(class="stub"2
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)|x|+class="stub"1
2
=1-class="stub"1
2
cos2x-(class="stub"2
3
)|x|,-1≤cos2x≤1,
∴-class="stub"1
2
≤1-class="stub"1
2
cos2x≤class="stub"3
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,(class="stub"2
3
)|x|>0
故1-class="stub"1
2
cos2x-(class="stub"2
3
)|x|<class="stub"3
2
,即结论③错.
而cos2x,(class="stub"2
3
)|x|在x=0时同时取得最大值,
所以f(x)=1-class="stub"1
2
cos2x-(class="stub"2
3
)|x|在x=0时可取得最小值-class="stub"1
2
,即结论④是正确的.
故选A

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