首页 > 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（12）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（12）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-

题目简介

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（12）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-

题目详情

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（
1
2
）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

需先研究y=f（x）的单调性，任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＞x2，则
x1
x2
＞1．
f（x1）=f（
x1
x2
•x2）=f（
x1
x2
）+f（x2），
∴f（x1）-f（x2）=f（
x1
x2
）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
又f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0．
又∵f（1）=f（2）+f（class="stub"1
2
）=f（2）+1=0．
∴f（2）=-1．∴f（4）=2f（2）=-2．
∴原不等式等价于
x＞0
5-x＞0
x(5-x)≤4.

解得{x|0＜x≤1或4≤x＜5}．

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