首页 > 已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对x，y∈（-1，1）时，有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)．（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；（II）令x1=

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对x，y∈（-1，1）时，有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)．（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；（II）令x1=

题目简介

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对x，y∈（-1，1）时，有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)．（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；（II）令x1=

题目详情

已知定义在（-1，1）上的函数f （x）满足f(
1
2
)=1，且对x，y∈（-1，1）时，有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)．
（I）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并证明之；
（II）令x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x2n
，求数列{f（xn）}的通项公式；
（III）设Tn为数列{
1
f(xn)
}的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的n∈N*，有Tn＜
m-4
3
成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：成都一模

答案

（I）令x=y=0，得f（0）=0．
又当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y）．
∴对任意x∈（-1，1）时，都有f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．       （3分）
（II）∵{xn}满足x1=class="stub"1
2
，xn+1=
2xn
1+
x2n
=class="stub"2
class="stub"1
xn
+xn
＜class="stub"2
2
=1，
∴0＜xn＜1．
∴f(xn+1)=f(
2xn
1+
x2n
)=f[
xn-(-xn)
1-xn•(-xn)
]=f(xn)-f(-xn)．
∵f（x）在（-1，1）上是奇函数，
∴f（-xn）=-f（xn）
∴f（xn+1）=2f（xn），即
f(xn+1)
f(xn)
=2．
∵{f（xn）}是以f(x1)=f(class="stub"1
2
)=1为首项，以2为公比的等比数列．
∴f（xn）=2n-1．                                                    （5分）
（III）Tn=class="stub"1
f(x1)
+class="stub"1
f(x2)
+…+class="stub"1
f(xn)

=1+class="stub"1
2
+class="stub"1
22
+…+class="stub"1
2n-1
=
1-(class="stub"1
2
)n
1-class="stub"1
2
=2-class="stub"1
2n-1
．
假设存在正整数m，使得对任意的n∈N*，
有Tn＜class="stub"m-4
3
成立，
即2-class="stub"1
2n-1
＜class="stub"m-4
3
对n∈N*恒在立．
只需class="stub"m-4
3
≥2，即m≥10．
故存在正整数m，使得对n∈N*，有Tn＜class="stub"m-4
3
成立．
此时m的最小值为10．                                       （5分）

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