首页 > 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1（1）计算f（9），f(3)

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1（1）计算f（9），f(3)

题目简介

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1（1）计算f（9），f(3)

题目详情

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）同时满足如下三个条件：①对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1
（1）计算f（9），f(
3
)的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）有集合A={（x0，y0）|f（x02+1）-f（5y0）-2＞0，x0，y0∈（0，+∞）}，B={(x0，y0)|f(
x0
y0
)+
1
2
=0，x0，y0∈(0，+∞)}．问：是否存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵对于任意x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）∴f（9）=2f（3）=-2；f（3）=2f（
3
）=-1，∴f（
3
）=-class="stub"1
2

（2）设任意x，y∈（0，+∞），且x＜y，且class="stub"y
x
=t  （t＞1）
则f（x）-f（y）=f（x）-f（tx）=f（x）-f（x）-f（t）=-f（t）
∵当x＞1时，f（x）＜0，∴-f（t）＞0
∴f（x）＞f（y）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
（3）依题意可得f（1）=0，f（class="stub"1
3
）=1，f（class="stub"1
9
）=2
f（x02+1）-f（5y0）-2＞0⇔f（x02+1）＞f（5y0）+2=f（5y0）+f（class="stub"1
9
）=f（class="stub"5
9
y0）⇔x02+1＜class="stub"5
9
y0）①
f(
x0
y0
)+class="stub"1
2
=0⇔f(
x0
y0
)+f(
3
3
)=0⇔f（
3
x0
3y0
）=f（1）⇔
3
x0
3y0
=1②
将②代入①得27x02-5
3
x0+27＜0
此不等式无解
故不存在（x0，y0）使（x0，y0）∈A∩B

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