设函数,其中常数a>1,f(x)=13x3-(1+a)x2+4ax+24a(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.-数学

题目简介

设函数,其中常数a>1,f(x)=13x3-(1+a)x2+4ax+24a(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.-数学

题目详情

设函数,其中常数a>1,f(x)=
1
3
x3-(1+a)x2+4ax+24a
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f'(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)
由a>1知,当x<2时,f'(x)>0,
故f(x)在区间(-∞,2)是增函数;
当2<x<2a时,f'(x)<0,
故f(x)在区间(2,2a)是减函数;
当x>2a时,f'(x)>0,
故f(x)在区间(2a,+∞)是增函数.
综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)是增函数,
在区间(2,2a)是减函数.
(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.
f(2a)=class="stub"1
3
(2a)3-(1+a)(2a)2+4a•2a+24a
=-class="stub"4
3
a3+4a2+24a
,f(0)=24a
由假设知
a>1
f(2a)>0
f(0)>0

a>1
-class="stub"4
3
a(a+3)(a-6)>0
24a>0.
解得1<a<6
故a的取值范围是(1,6)

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