已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-7xx2+x+1.(1)求x<0时,f(x)的解析式;(2)试确定函数y=f(x)(x≥0)单调区间,并证明你的结论.-数学

题目简介

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-7xx2+x+1.(1)求x<0时,f(x)的解析式;(2)试确定函数y=f(x)(x≥0)单调区间,并证明你的结论.-数学

题目详情

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-
7x
x2+x+1

(1)求x<0时,f(x)的解析式;
(2)试确定函数y=f(x)(x≥0)单调区间,并证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)若x<0则-x>0,∵f(x)是偶函数,
f(x)=f(-x)=
-7(-x)
(-x)2+(-x)+1
=class="stub"7x
x2-x+1

(2)设x1,x2是区间[0,+∞)上任意两个实数,且0≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)f(x1)-f(x2)=
-7x1
x21
+x1+1
-
-7x2
x22
+x2+1
=
7(x1-x2)(x1x2-1)
(
x21
+x1+1)(
x22
+x2+1)

当0≤x1<x2≤1时,x1-x2<0,x1x2-1<0而x12+x1+1>0及x22+x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x)在[0,1]上为减函数.
同理当1<x1<x2时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在(1,+∞)上为增函数

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