已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，（1）求证：f（x）是偶函数；（2）证明f

题目简介

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁、x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x1=x2=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函数．

（2）证明：设x2＞x1＞0，则
f（x2）-f（x1）=f（x1•

）-f（x1）
=f（x1）+f（

）-f（x1）=f（

）．
∵x2＞x1＞0，∴

＞1．
∴f（

）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0．
∴f（x2）＞f（x1）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．