已知k为正常数,方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2.(1)求实数u的取值范围;(2)求使不等式(1x1-x1)(1x2-x2)≥(k2-2k)2恒成立的k的取值范围.-数学

题目简介

已知k为正常数,方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2.(1)求实数u的取值范围;(2)求使不等式(1x1-x1)(1x2-x2)≥(k2-2k)2恒成立的k的取值范围.-数学

题目详情

已知k为正常数,方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2
(1)求实数u的取值范围;
(2)求使不等式(
1
x1
-x1) (
1
x2
-x2)≥(
k
2
-
2
k
2恒成立的k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:南京模拟

答案

(1)由于方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2.
所以
△=k2-4u≥0
x1+x2=k>0
x1x2=u>0
…(3分)解得0<u≤
k2
4

即实数u的取值范围是(0,
k2
4
];…(6分)
(2)(class="stub"1
x1
-x1) (class="stub"1
x2
-x2)=x1x2+class="stub"1
x1x2
-
x12+x22
x1x2
=u-
k2-1
u
+2.
令f (u)=u-
k2-1
u
+2(u>0),所以f′(u)=1+
k2-1
u
,…(8分)
(i)若k≥1,因为0<u≤
k2
4
,所以f′(u)>0,从而f (u)在(0,
k2
4
]为增函数,所以
u-
k2-1
u
+2≤f (
k2
4
)=
k2
4
-
k2-1
k2
4
+2=(class="stub"k
2
-(class="stub"2
k
)2,
即(class="stub"1
x1
-x1) (class="stub"1
x2
-x2)≥((class="stub"k
2
-(class="stub"2
k
)2不恒成立.…(10分)
(ii)若0<k<1,由f′(u)=1+
k2-1
u2
=0,得u=
1-k2

当u∈(0,
1-k2
),f′(u)<0;当u∈(
1-k2
,+∞),f′(u)>0,
所以函数f (u)在(0,
1-k2
]上递减,在[
1-k2
,+∞)上递增,…(12分)
要使函数f (u)在(0,
k2
4
]上恒有f (u)≥f (
k2
4
),必有
1-k2
k2
4
,即k4+16 k2-16≤0,…(14分)
解得0<k≤2
5
-2
.综上,k的取值范围是(0,2
5
-2
].…(16分)

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