首页 > 设实数a≠0，函数f（x）=a（x2+1）-（2x+1a）有最小值-1．（1）求a的值；（2）设数列{an}的前n项和Sn=f（n），令bn=a2+a4+…+a2nn，证明：数列{bn}是等差数列．-

设实数a≠0，函数f（x）=a（x2+1）-（2x+1a）有最小值-1．（1）求a的值；（2）设数列{an}的前n项和Sn=f（n），令bn=a2+a4+…+a2nn，证明：数列{bn}是等差数列．-

题目简介

设实数a≠0，函数f（x）=a（x2+1）-（2x+1a）有最小值-1．（1）求a的值；（2）设数列{an}的前n项和Sn=f（n），令bn=a2+a4+…+a2nn，证明：数列{bn}是等差数列．-

题目详情

设实数a≠0，函数f（x）=a（x2+1）-（2x+
1
a
）有最小值-1．
（1）求a的值；
（2）设数列{an}的前n项和Sn=f（n），令bn=
a2+a4+…+a2n
n
，证明：数列{bn}是等差数列．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=a（x-class="stub"1
a
）2+a-class="stub"2
a
，由已知知f（class="stub"1
a
）=a-class="stub"2
a
=-1，且a＞0，解得a=1，a=-2（舍去）．
（2）证明：由（1）得f（x）=x2-2x，
∴Sn=n2-2n，a1=S1=-1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-2n-（n-1）2+2（n-1）=2n-3，a1满足上式即an=2n-3．
∵an+1-an=2（n+1）-3-2n+3=2，
∴数列{an}是首项为-1，公差为2的等差数列．
∴a2+a4+…+a2n=
n(a2+a2n)
2

=
n(1+4n-3)
2
=n（2n-1），
即bn=
n(2n-1)
n
=2n-1．
∴bn+1-bn=2（n+1）-1-2n+1=2．
又b2=
a2
1
=1，
∴{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．

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