已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且x≤f(x)≤12(x2+1)对一切实数x恒成立.(1)求f(1);(2)求f(x)的解析表达式.-数学

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已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且x≤f(x)≤12(x2+1)对一切实数x恒成立.(1)求f(1);(2)求f(x)的解析表达式.-数学

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已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且x≤f(x)≤
1
2
(x2+1)对一切实数x恒成立.
(1)求f(1);
(2)求f(x)的解析表达式.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵二次函数f(x)满足f(-1)=0,
且x≤f(x)≤class="stub"1
2
(x2+1)对一切实数x恒成立,
∴取x=1,得1≤f(1)≤class="stub"1
2
(1+1),
所以f(1)=1.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
因f(-1)=0,f(1)=1,
a-b+c=0
a+b+c=1

∴a+c=b=class="stub"1
2

∵f(x)≥x对x∈R恒成立,
∴ax2+(b-1)x+c≥0对x∈R恒成立,
a>0
△=(b-1)2-4ac≤0

a>0
ac≥class="stub"1
16

∵a>0,ac≥class="stub"1
16
>0,
∴c>0.
class="stub"1
2
=a+c≥2
ac
≥2
class="stub"1
16
当且仅当a=c=class="stub"1
4
时,等式成立,
∴f(x)=class="stub"1
4
x2+class="stub"1
2
x+class="stub"1
4

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