首页 > 已知二次函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），同时满足以下条件：①存在实数m，使得f（m）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥0成立；②存在实数k（k≠0），使得f（1-k）=f（1+k）成立．（1

已知二次函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），同时满足以下条件：①存在实数m，使得f（m）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥0成立；②存在实数k（k≠0），使得f（1-k）=f（1+k）成立．（1

题目简介

已知二次函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），同时满足以下条件：①存在实数m，使得f（m）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥0成立；②存在实数k（k≠0），使得f（1-k）=f（1+k）成立．（1

题目详情

已知二次函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），同时满足以下条件：
①存在实数m，使得f（m）=0，且对任意实数x，恒有f（x）≥0成立；
②存在实数k （k≠0），使得f（1-k）=f（1+k）成立．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=f（n），数列{bn}满足关系式bn=an+2+
2
，问数列{bn}中是否存在不同的3项，使之成为等比数列？若存在，试写出任意符合条件的3项；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：崇明县一模

答案

（1）由①得，二次函数有最小值0，故
4c-b2
4
=0（2分）
二次函数的对称轴为直线x=1，故-class="stub"b
2
=1，（4分）
即b=-2，c=1f（x）=x2-2x+1
（6分）
（2）Sn=n2-2n+1（n∈N*）∴an=
0
2n-3
n=1
n≥2，n∈N*
（2分）
∴bn=
2+
2
2n-1+
2
n=1
n≥2，n∈N*
（4分）
设数列的p、q、r（p＜q＜r）项使得bp、bq、br成等比数列．
（ⅰ）若p=1时，b1=2+
2
bq=(2q-1)+
2
，br=(2r-1)+
2

则bq2=b1•br∴[(2q-1)+
2
]2=(2+
2
)[(2r-1)+
2
]∴(2q-1)2+2+2
2
(2q-1)=2(2r-1)+2+(2r-1)•
2
+2
2

∴
(2q-1)2+2=4r-2+2
2(2q-1)=2r-1+2
⇒
(2q-1)2+2=4r
4q-2=2r+1
①②
由于②式左边为偶数，右边为奇数，显然q、r不存在．                  （3分）
（ⅱ）若1＜p＜r＜q，p、q、r∈N*
则[(2q-1)+
2
]2=(2p-1+
2
)(2r-1+
2
)∴(2q-1)2+2+2
2
(2q-1)=(2p-1)(2r-1)+2+(2p-1+2r-1)
2

∴
(2q-1)2=(2q-1)(2r-1)
2(2q-1)=2p+2r-2
⇒p+r=2q⇒（p+r-1）2=（2p-1）（2r-1）⇒（p-r）2=0
∴p=r产生矛盾                                                       （7分）
综上所述，这样的三项不存在．                                          （8分）

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