首页 > 已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n＜0．（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；（2）解不等式：f(x+

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n＜0．（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；（2）解不等式：f(x+

题目简介

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有f(m)+f(n)m+n＜0．（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；（2）解不等式：f(x+

题目详情

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，而且f（1）=-1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时有 
f(m)+f(n)
m+n
＜0．
（1）证明f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）解不等式：f(x+
1
2
)＞f(
3
2
-x2)；
（3）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）任取-1≤x1＜x2≤1，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
•(x1-x2)
∵-1≤x1＜x2≤1，∴x1+（-x2）≠0，
由已知
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
＜0，又x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x）在[-1，1]上为减函数；
（2）∵f（x）在[-1，1]上为减函数，
故有
x+class="stub"1
2
≥-1
class="stub"3
2
-x2＞x+class="stub"1
2
class="stub"3
2
-x2 ≤1
，
解得
2
2
≤x＜
5
-1
2
，或-class="stub"3
2
＜x≤-
2
2
，
∴解集为： [
2
2
，
5
-1
2
)∪[-class="stub"3
2
，-
2
2
)
（3）由（1）可知：f（x）在[-1，1]上是减函数，
且f（1）=1，故对x∈[-l，1]，恒有f（x）≥1．
所以要使f（x）≤t2-2at+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即要t2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0成立．
∴
t2+2t≥0
t2-2t≥ 0
，
解得：t≤-2或t≥2或t=0．

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