已知函数f(x)=4x+a•4-x是偶数,(1)求a的值;(2)若F(x)=f(x)4x,用定义证明:F(x)在R上为单调递减函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=4x+a•4-x是偶数,(1)求a的值;(2)若F(x)=f(x)4x,用定义证明:F(x)在R上为单调递减函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=4x+a•4-x是偶数,
(1)求a的值;
(2)若F(x)=
f(x)
4x
,用定义证明:F(x)在R上为单调递减函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)=4x+a•4-x是偶数,
∴f(-x)=f(x),
即a•4x+4-x=4x+a•4-x⇒a=1.
(2)由(1)得:F(x)=1+class="stub"1
42x
,以下证明F(x)在R上为单调递减函数:
设x1<x2,∵F(x1)-F(x2)=1+class="stub"1
42x1
-1-class="stub"1
42x2
=class="stub"1
42(x1+x2)
(42x2-42x1)

易知:x1<x242x242x142(x1+x2)>0
∴F(x1)>F(x2)
因此,F(x)在R上为单调递减函数.

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