首页 > 已知函数f(x)=3xa+3(a-1)x（a≠0且a≠1）．（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；（2）已知当x＞0时，函数在(0，6)上单调递减，在(6，+∞)上单调递增，求a的值并

已知函数f(x)=3xa+3(a-1)x（a≠0且a≠1）．（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；（2）已知当x＞0时，函数在(0，6)上单调递减，在(6，+∞)上单调递增，求a的值并

题目简介

已知函数f(x)=3xa+3(a-1)x（a≠0且a≠1）．（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；（2）已知当x＞0时，函数在(0，6)上单调递减，在(6，+∞)上单调递增，求a的值并

题目详情

已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
（a≠0且a≠1）．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在(0，
6
)上单调递减，在(
6
，+∞)上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）（理）记（2）中的函数的图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
（文） 记（2）中的函数的图象为曲线C，试问曲线C是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加以证明；若不是，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

∵f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
=
3
a
（x+
a(a-1)
x
），
∴由双钩函数y=x+class="stub"m
x
（m＞0）在（-∞，-
m
]，[
m
，+∞）上单调递增，在[-
m
，0），（0，
m
]单调递减，可得：
①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为(-
a(a-1)
，0)及(0，
a(a-1)
)，
②当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-
a(a-1)
)及(
a(a-1)
，+∞)；
又当0＜a＜1时，y=
3
a
x为R上的增函数，y=
3
(a-1)
x
为（-∞，0），（0，+∞）上的增函数，
∴③当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞）；（6分）
（2）由题设及（1）中③知
a(a-1)
=
6
且a＞1，解得a=3，（9分）
因此函数解析式为f(x)=
3
x
3
+
2
3
x
（x≠0）．                     （10分）
（3）（理）假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴，显然x、y轴不是曲线C的对称轴，故可设l：y=kx（k≠0），且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，列式计算即可；
设P（p，q）为曲线C上的任意一点，P'（p'，q'）与P（p，q）关于直线l对称，且p≠p'，q≠q'，则P'也在曲线C上，由此得class="stub"q+q′
2
=kclass="stub"p+p′
2
，class="stub"q-q′
p-p′
=-class="stub"1
k
，
且q=class="stub"p
3
+
2
3
p
，q′=class="stub"p′
3
+
2
3
p′
，（14分）
整理得k-class="stub"1
k
=class="stub"2
3
，解得k=
3
或k=-
3
3
，
所以存在直线y=
3
x及y=-
3
3
x为曲线C的对称轴．           （16分）
（文）该函数的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），曲线C的对称中心为（0，0），
因为对任意x∈D，f(-x)=-
3
x
a
+
3
(a-1)
-x
=-[
3
x
a
+
3
(a-1)
x
]=-f(x)，
所以该函数为奇函数，曲线C为中心对称图形．                    （10分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网