已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2|x-1|-1,0<x≤212f(x-2),x>2,则函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为()A.7B.8C.9

题目简介

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2|x-1|-1,0<x≤212f(x-2),x>2,则函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为()A.7B.8C.9

题目详情

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=
2|x-1|-1,0<x≤2
1
2
f(x-2),x>2
,则函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为(  )
A.7B.8C.9D.10
题型:单选题难度:偏易来源:铁岭模拟

答案

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).
又∵函数g(x)=xf(x)-1,
∴g(-x)=(-x)f(-x)-1=(-x)[-f(x)]-1=xf(x)-1=g(x),
∴函数g(x)是偶函数,
∴函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的.
∴函数g(x)在[-6,6]上所有的零点的和为0,
∴函数g(x)在[-6,+∞)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6,+∞)上所有的零点之和.
由0<x≤2时,f(x)=2|x-1|-1,
f(x)=
2-x,0<x≤1
2x-2,1<x≤2

∴函数f(x)在(0,2]上的值域为[class="stub"1
2
,1],当且仅当x=2时,f(x)=1
又∵当x>2时,f(x)=class="stub"1
2
f(x-2)

∴函数f(x)在(2,4]上的值域为[class="stub"1
4
class="stub"1
2
],
函数f(x)在(4,6]上的值域为[class="stub"1
8
class="stub"1
4
],
函数f(x)在(6,8]上的值域为[class="stub"1
16
class="stub"1
8
],当且仅当x=8时,f(x)=class="stub"1
8

函数f(x)在(8,10]上的值域为[class="stub"1
32
class="stub"1
16
],当且仅当x=10时,f(x)=class="stub"1
16

故f(x)<class="stub"1
X
在(8,10]上恒成立,g(x)=xf(x)-1在(8,10]上无零点
同理g(x)=xf(x)-1在(10,12]上无零点
依此类推,函数g(x)在(8,+∞)无零点
综上函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为8
故选B

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