已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+32)[1-f(x)]=1+f(x),f(2)=3-2,则f(2009)值为()A.2+3B.2-3C.3-2D.-2-3-数学

题目简介

已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+32)[1-f(x)]=1+f(x),f(2)=3-2,则f(2009)值为()A.2+3B.2-3C.3-2D.-2-3-数学

题目详情

已知f(x)是定义在R上的函数,且f(x+
3
2
)[1-f(x)]=1+f(x)
f(2)=
3
-2
,则f(2009)值为(  )
A.2+
3
B.2-
3
C.
3
-2
D.-2-
3
题型:单选题难度:中档来源:铁岭模拟

答案

f(x+class="stub"3
2
)[1-f(x)]=1+f(x)
,∴f(x+class="stub"3
2
)=
1+f(x)
1-f(x)

令x=x+class="stub"3
2
代入上式得,
f(x+3)=
1+f(x+class="stub"3
2
)
1-f(x+class="stub"3
2
)
=
1+
1+f(x)
1-f(x)
1-
1+f(x)
1-f(x)
=-class="stub"1
f(x)

令x=x+3代入上式得,f(x+6)=-class="stub"1
f(x+3)
=-class="stub"1
-class="stub"1
f(x)
=f(x),
∴函数的周期T=6,
∴f(2009)=f(6×334+5)=f(5)=-class="stub"1
f(2)
=-class="stub"1
3
-2
=2+
3

故选A.

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