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已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2-bx（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（

题目简介

已知函数f（x）=lnx，g（x）=12x2-bx（b为常数）．（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（

题目详情

已知函数f（x）=lnx，g（x）=
1
2
x2-bx（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；
（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟

答案

（1）f（x）=lnx得f′（x）=class="stub"1
x
，
函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1，切线方程为：y-0=x-1即y=x-1．
由已知得它与g（x）的图象相切，将y=x-1代入得x-1=class="stub"1
2
x2-bx，即class="stub"1
2
x2-（b+1）x+1=0，
∴△=（b+1）2-2=0，解得b=±
2
-1，
即实数b的值为±
2
-1．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+class="stub"1
2
x2-bx，
∴h′（x）=class="stub"1
x
+x-b，
根据函数h（x）在定义域（0，+∞）上存在单调减区间，
∴存在x＞0，使得class="stub"1
x
+x-b＜0，即b＞class="stub"1
x
+x，
由于当x＞0时，class="stub"1
x
+x≥2，
∴b＞2．
∴实数b 的取值范围（2，+∞）．
（3）对于区间[1，2]上的任意实数x，f′（x）=class="stub"1
x
∈[class="stub"1
2
，1]．
g′（x）=x-b∈[1-b，2-b]，
要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，
若用注意到f（x）是增函数，不妨设x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），问题转化为|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|
等价于-f（x1）+f（x2）＜g（x1）-g（x2）＜f（x1）-f（x2）从而f（x1）-g（x1）＞f（x2）-g（x2）且f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），
即f（x）-g（x）与f（x）+g（x）都是增函数，
利用导数的几何是切线的斜率，得到|f′（x）|＞|g′（x）|，
即class="stub"1
x
＞|b-x|，于是x-class="stub"1
x
≤b≤x+class="stub"1
x
即（x-class="stub"1
x
）max≤b≤（x+class="stub"1
x
）min
∴class="stub"3
2
≤b≤2．
则b的取值范围[class="stub"3
2
，2]．

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