设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向量OA=(x1,f(x1)),OB=(x2,f(x2)),OM=(x,y),当实数λ满足x=λx1+(1

题目简介

设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向量OA=(x1,f(x1)),OB=(x2,f(x2)),OM=(x,y),当实数λ满足x=λx1+(1

题目详情

设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向
OA
=(x1,f(x1)),
OB
=(x2,  f(x2))
OM
=(x,y),当实数λ满足x=λ x1+(1-λ) x2时,记向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
.定义“函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准k下线性近似”是指“|
MN
|≤
k恒成立”,其中k是一个确定的正数.
(1)设函数 f(x)=x2在区间[0,1]上可在标准k下线性近似,求k的取值范围;
(2)求证:函数g(x)=lnx在区间[em,em+1](m∈R)上可在标准k=
1
8
下线性近似.
(参考数据:e=2.718,ln(e-1)=0.541)
题型:解答题难度:中档来源:扬州模拟

答案

(1)由
ON
OA
+(1-λ)
OB
得到
BN
BA

所以B,N,A三点共线,(2分)
又由x=λx1+(1-λ)x2与向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
,得N与M的横坐标相同.(4分)
对于[0,1]上的函数y=x2,A(0,0),B(1,1),
则有|
MN
|=x-x2=-(x-class="stub"1
2
)2+class="stub"1
4
,故|
MN
|∈[0,  class="stub"1
4
]

所以k的取值范围是[class="stub"1
4
,+∞)
.(6分)
(2)对于[em,em+1]上的函数y=lnx,
A(em,m),B(em+1,m+1),(8分)
则直线AB的方程y-m=class="stub"1
em+1-em
(x-em)
,(10分)
h(x)=lnx-m-class="stub"1
em+1-em
(x-em)
,其中x∈[em,em+1](m∈R),
于是h′(x)=class="stub"1
x
-class="stub"1
em+1-em
,(13分)
列表如下:
xem(em,em+1-em)em+1-em(em+1-em,em+1)em+1
h'(x)+0-
h(x)0h(em+1-em)0
|
MN
|
=h(x),且在x=em+1-em处取得最大值,
h(em+1-em)=ln(e-1)-class="stub"e-2
e-1
0.123<class="stub"1
8
,从而命题成立.(16分)

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