首页 > 已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）（1）求f（0）的值；（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量a=(2cosθ2，1)，b=(2λs

已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）（1）求f（0）的值；（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量a=(2cosθ2，1)，b=(2λs

题目简介

已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）（1）求f（0）的值；（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量a=(2cosθ2，1)，b=(2λs

题目详情

已知定义域为R的函数f（x）对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）
（1）求f（0）的值；
（2）若f（x）为单调函数，f（1）=2，向量
a
=(
2
cos
θ
2
，1)，
b
=(
2
λsin
θ
2
，cos2θ)，是否存在实数λ，对任意θ∈[0，2π)，f(
a
•
b
)-f(3)≤0恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）令x=y=0得，f（0）=f（0）f（0），
∵f（x）≠0，∴f（0）=1．
（2）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）为单调函数，
∴f（x）是增函数，
∵
a
•
b
=λsinθ+cos2θ，f（
a
•
b
）-f（3）≤0
∴f（λsinθ+cos2θ）≤f（3）
又∵f（x）是增函数，
∴对任意θ∈[0，2π），λsinθ+cos2θ≤3恒成立，
即sin2θ-λsinθ+2≥0恒成立，…（*）
令t=sinθ，得t2-λt+2≥0
∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1，
令h（t）=t2-λt+2=(t-class="stub"λ
2
)2+2-
λ2
4
（-1≤t≤1），
①当class="stub"λ
2
＜-1时，即λ＜-2时，只要h（-1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（-1）=λ+3≥0，∴-3＜λ＜-2；
②当-1≤class="stub"λ
2
≤1时，即-2≤λ≤2时，只要h（class="stub"λ
2
）≥0，则（*）恒成立，
∵h（class="stub"λ
2
）=2-
λ2
4
≥0，∴-2
2
≤λ≤2
2
，
∴-2≤λ≤2；
③当class="stub"λ
2
＞1时，即λ＞2时，只要h（1）≥0，则（*）恒成立，
∵h（1）=3-λ≥0，∴∴2＜λ≤3；
综上：存在-3≤λ≤3，满足题目要求．

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