已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（1）求b．（2）讨论函数h(x)=ln(1+x2)-12f(x)-k的零点个数？-数学

题目简介

已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b．
（2）讨论函数h(x)=ln(1+x2)-

f(x)-k的零点个数？

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）由f（-x）=（-x）2+bsin（-x）-2=f（x）
得b=0．（4分）
（2）h(x)=ln(1+x2)-class="stub"1

x2+1-k，
令y=ln(1+x2)-class="stub"1

x2+1．
所以y′=class="stub"2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

x2+1

令y'=0，则x1=-1，x2=0，x3=1，列表如下：

（-∞-1）

-1

（-1，0）

（0，1）

（1，+∞）

h（x）

单调递增

极大值ln2+class="stub"1

单调递减

极小值1

单调递增

极大值ln2+class="stub"1

单调递减

所以当k＞ln2+class="stub"1

时，函数无零点；
当k＜1或k=ln2+class="stub"1

时，函数有两个零点；
当k=1时，函数有三个零点．
当1＜k＜ln2+class="stub"1

时，函数有四个零点．（13分）