首页 > 已知函数f(x)=sin2x2+3sinx2cosx2-12．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移π6个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线y=12

已知函数f(x)=sin2x2+3sinx2cosx2-12．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移π6个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线y=12

题目简介

已知函数f(x)=sin2x2+3sinx2cosx2-12．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移π6个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线y=12

题目详情

已知函数f(x)=sin2
x
2
+
3
sin
x
2
cos
x
2
-
1
2
．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移
π
6
个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线y=
1
2
交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，求数列{xn}的前2n项的和．
题型：解答题难度：中档来源：福建模拟

答案

（Ⅰ）f(x)=sin2class="stub"x
2
+
3
sinclass="stub"x
2
cosclass="stub"x
2
-class="stub"1
2

=class="stub"1-cosx
2
+
3
2
sinx-class="stub"1
2

=
3
2
sinx-class="stub"1
2
cosx
=sin（x-class="stub"π
6
）．
由2kπ≤x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
，得2kπ-class="stub"π
3
≤x≤2kπ+class="stub"2π
3
 （k∈Z）
所以f（x）的单调递增区间是[2kπ-class="stub"π
3
，2kπ+class="stub"2π
3
]（k∈Z）
（Ⅱ）函数f（x）=sin（x-class="stub"π
6
）的图象向左平移class="stub"π
6
个单位后，得到函数y=sinx的图象，
即g（x）=sinx，
若函数g（x）=sinx（x＞0）的图象与直线y=class="stub"1
2
交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，
则由正弦曲线的对称性，周期性得：
x1+x2
2
=class="stub"π
2
，
x3+x4
2
=2π+class="stub"π
2
，…，
x2n-1+x2n
2
=2（n-1）π+class="stub"π
2
，
所以x1+x2+…+x2n-1+x2n
=（x1+x2）+（x3+x4）+…+（x2n-1+x2n）
=π+5π+9π+…+（4n-3）π
=[n×1+
n(n-1)
2
×4]•π
=（2n2-n）π

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