已知函数f(x)=a-22x+1(x∈R)是奇函数,(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的值域;(Ⅲ)判断函数f(x)在定义域上的单调性,并证明.-数学

题目简介

已知函数f(x)=a-22x+1(x∈R)是奇函数,(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的值域;(Ⅲ)判断函数f(x)在定义域上的单调性,并证明.-数学

题目详情

已知函数f(x)=a-
2
2x+1
(x∈R)是奇函数,
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的值域;
(Ⅲ)判断函数f(x)在定义域上的单调性,并证明.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)因为f(x)在R上是奇函数,
所以f(0)=0,即a-class="stub"2
20+1
=0,解得a=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=1-class="stub"2
2x+1

由y=1-class="stub"2
2x+1
得2x=class="stub"y+1
1-y

因为x∈R,所以2x>0,所以class="stub"y+1
1-y
>0,解得-1<y<1,
所以f(x)的值域为(-1,1).
(Ⅲ)f(x)在R上是增函数,
任取x1<x2,f(x1)-f(x2)=1-class="stub"2
2x1+1
-1+class="stub"2
2x2+1

=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

因为x1<x2,所以2x12x22x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
所以f(x)在R上是增函数.

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